Giáo Dục

Lý thuyết và các dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10

Hàm số bậc nhất lớp 10 là một dạng hàm số cơ bản mà các em học sinh sẽ được học trong chương trình Đại số THPT. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ giới thiệu tới các em học sinh tổng quan lý thuyết chung về hàm số bậc nhất lớp 10, cách vẽ đồ thị, bảng biến thiên và áp dụng vào giải các dạng bài tập điển hình.

1. Lý thuyết chung về hàm số bậc nhất lớp 10

>>> Bài viết liên quan: Tổng ôn hàm số lớp 10 – Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập 

1.1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất lớp 10 là một dạng hàm số có công thức tổng quát là: y = ax + b (a ≠ 0).

 

1.2. Đồ thị và bảng biến thiên hàm số bậc nhất lớp 10

Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất lớp 10 có dạng như sau:

MbxfVe8POeabntESfxSFcp33hYgbIRSwftevCJgfzS2RFFQmcXKjFEdGHYssomEEHGSK7J5w3ldllNQI0ZhBHiQtuRu 9hxXcXzvhI5x9zhNXQUQzjW4F4yvQyBBT5GjGFET7U 4vnCF DHI ijXfA4

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng $y=ax$ (nếu b ≠ 0) (nếu b ≠ 0) và đi qua hai điểm.

AuRqj 3BfREIkgiwVeMdTzIxFC7QybyxOpuFOxT0qAmB0HNHiByFuilTerGZUWveiz1ys912pOEGr47ZMmbc 3JR8ik2JFcRX0Wa7UJ8hS

 

Chú ý:

  • Nếu $a=0$ => $y=b$ là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

  • Phương trình $x=a$ cũng là một đường thẳng (nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a.

  • Cho đường thẳng d có hệ số góc k, d đi qua điểm $M(x_{0} ; y_{0})$, khi đó phương trình của đường thẳng d là: $y – y_{0}= a(x – x_{0})$.

 

2. hàm số bậc nhất lớp 10 – hàm hằng y=b

Hàm hằng là một dạng hàm số mà với mọi giá trị đầu vào thì giá trị đầu ra của hàm số không thay đổi. Hàm hằng có dạng $y=b$.

Ví dụ về hàm hằng: $f(x)=2$, $f(x)=-5$, $f(x)=\frac{1}{4}$,…

Đồ thị hàm số $y=b$ là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung tại (0;b).

bwqk4837JfcU3wY0 9 cKvI4 5 EtzP Ovh wWC 5MfKsfEeBuMASsC7Kbaw7p5ucehW zg5GNMIVdjd0qUeBUirbGowxDIYvpZ0jNclE0NNpTZ7stz7ZQWf aMfSR 35BZDijh WrEBABTinD833RA

 

3. Hàm số bậc nhất lớp 10 – hàm trị tuyệt đối y = |x|

Như đã được học trong chương trình THPT, hàm số trị tuyệt đối có mối liên hệ chặt chẽ với hàm số bậc nhất lớp 10. Hàm số trị tuyệt đối có dạng là y = |x|

  • Tập xác định: Hàm số  y = |x| xác định với mọi giá trị $x\in \mathbb{R}$, nghĩa là $\mathbb{R}$ là tập xác định của hàm số  y = |x|.

  • Chiều biến thiên được xác định theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối:

pBgWP23IEZ

=> Hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng ( –∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞).

rP6J1PaetmJwVnt1DbrdU8jU GgsE1vM5TLQdRG xcdqpxwZ4wcgu23lw3EJk Gihz2Y ZyePMojW1lFUBseQX0llNGzG PqhKRf1v LJnVavLOQfxxxR7FGv6qT3NRTfcWgmlTRBlMkp hVfAC4CqE

Diễn giải bảng biến thiên: Khi $x>0$ và dần tới +∞ thì y = x dần tới +∞, khi $x<0$ dần tới –∞ thì $y=–x$ cũng dần tới +∞.

JIg1NhHxlO1bYN7MKKpshy2ckiam0VyGUpf4tA7mVknDZri3Pb7 3IsZkOM76i6I2zu6jLEkYrnm8XrGa5OGM9u2J492Vjxes wXHub0QmjTceYT 2zKWHRnmrHSZzr0cEK9XZR6QE3rr NPheoPkT0

Diễn giải đồ thị:

  • Trong nửa khoảng [0; +∞) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số $y=x$.
  • Trong khoảng (–∞; 0) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số $y=–x$.

Lưu ý: Hàm số y = |x| là hàm số chẵn và đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

 

4. Các dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10 điểm hình

Để củng cố nền tảng lý thuyết hàm số bậc nhất lớp 10 đã nêu trên, các em học sinh cùng VUIHOC điểm qua 4 dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10 điển hình kèm theo các ví dụ có giải chi tiết nhé!

4.1. Dạng 1: Xác định hàm số $y=ax+b$ và sự tương giao của đồ thị hàm số

Để xác định hàm số bậc nhất lớp 10, ta làm như sau:

Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b$ (a≠ 0). Dựa theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a và b, từ đó suy ra hàm số cần tìm.

 

Bài toán tổng quan về sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất lớp 10:

Cho 2 đường thẳng $d_1: y=a_1x+b_1$ và $d_2:y=a_2x+b_2$. khi đó:

  1. $d_1$ và $d_2$ trùng nhau

M3Dm8c8w5rmNSCdJbEXh4 EUOaLhCv2 uGey12ke16ruGeXQAx mBCsELe FwhlskzC8SjQbem4Dm v0afg8IUvdwXfQ3QqgyxCD8ofnUxNwkCMVutMhLEH6fw6HAnGynf9aQjXw92VcB6aTGNMv Sw

  1. $d_1$ và $d_2$ song song với nhau

L1eMsmfnds0i07oJoACUWtBkVnPoPOqLzy 9hway tExRgQnWHDkn

  1. $d_1$ và $d_2$ cắt nhau ⇔ $a_1$ ≠ $a_2$. Toạ độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ phương trình:

zMVC6dPgTMU oYY5G3HlxOQG3RiImjMzEkLkBf8fMwx8gbjgtOBRoTFDfW1w8XEwA yOL7XnPqiNl0ZDFzxJKholfkgQj MxfoKsSR5vlG T1RkUK1UiF7w98mW98wO8 9FTvisUPZwiJHCNW1FH c

  1. $d_1$ và $d_2$ vuông góc với nhau ⇔ $a_1.a_2=-1$

 

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất lớp 10 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm hàm số đó trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A(1; 3), B(2; -1).

b) d đi qua C(3; -2) và song song với Δ: 3x – 2y + 1 = 0.

c) d đi qua M (1; 2) và cắt hai tia Ox, Oy tại P, Q sao cho SΔOPQ nhỏ nhất.

d) d đi qua N (2; -1) và d ⊥d’ với d’: y = 4x + 3.

 

Hướng dẫn giải:

Gọi dạng tổng quát của hàm số cần tìm là y=ax+b (a ≠ 0).

  1.  Vì A ∈ d; B ∈ d nên ta có hệ phương trình:

wov7XJ2xj0aHmLycytxpYNqEsQL8p5Y0U1EfYeBLbwbMGY71 UJVMveWV0lAq1PB9Y1QoAXpOYFZscFOAk5FO7kFJpXZPTMSq3whEcRbFkmvBGEt8QxZ Dq Czi jRsgVVL5XpEe 7VL87I9KsVrPRk

Kết luận hàm số cần tìm là $y=-4x+7$

 

  1. Ta có Δ:y = $\frac{3x}{2}+\frac{1}{2}$. Vì d // Δ nên:

AD hEODOn qYa0y lC3mTtwRNHIVu0QLE3BgZkPcztnuAAprFfkJz S19 bnzjZyD k1KL9edOXpMwikCrFrJczxOq24aElpjYB5cPGsXRYZPWCDlZ AK1lqv15f uZZdMuamlWXRQqTMRb9NB6 810

Mặt khác: C ∈ d ⇒ $-2=3a+b$ (2). Từ (1) và (2) suy ra:

i5gK2S6OnEcqbLFgQL1mIWvbjlWdn8a15W7YUvg9h CbHIx

Kết luận hàm số cần tìm là $y=\frac{3x}{2}+\frac{1}{2}$.

 

  1. Đường thẳng d cắt tia Ox tại $P((-b)/a; 0)$ và cắt tia Oy tại $Q(0; b)$ với $b>0$; $a<0$.

(Do cắt tia Ox, Oy nên hoành độ và tung độ giao điểm đều dương).

BFA3ihlLL6 qxpWK

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

hlcTGVXXsZaG3akOqm6OVhMz0PzCbJlfijcYkSMXF2DXOaXRJg04zGipnfaBF5NfhcC3foWFJlEtOcxoVgXomrYeermjuxqg538DinwnlCcBMnInkQ HXwHCmcGnsec68I0L9WLGoSgY h35CWsQcKk

⇒ $S_{OPQ}$ ≥ 2 + 2 = 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

KJ63jczfQuaeP5Z96GYqRgzPShwP7YBdBAuzf4FJRLEJKaQ3T1K7Z6I5YH7pBK Hx8sWFFFZMbQnOBF0BjMReFwCYrPEf4y0DzyXf3FePca2QNMLzn1 UinBp3fodblfim4PS0os4kM7uk sFcpTOmM

Kết luận hàm số cần tìm là $y=-2x+4$

 

  1. Đường thẳng d đi qua $N(2; -1)$ nên $-1=2a+b$

Và d ⊥ d’ ⇒ $4.a=-1$ ⇒ $a=(-1)/4$

⇒ $b=-1-2a=(-1)/2$

Kết luận hàm số bậc nhất cần tìm là $y=(-1)x/4-½$.

 

Ví dụ 2: Cho 2 đường thẳng $d: y = x + 2m$; $d’: y=3x+2$ (m là tham số)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d’ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ và $d’’: y=-mx+2$ phân biệt đồng quy.

 

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $a_d$=1 ≠ $a_{d’}$=3 suy ra hai đường thẳng d, d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d’ là nghiệm của hệ phương trình

wNFfzrICpLXwnI4Xl75av8vSf3yBIa0BoJkZWWNerO US3EzEFcwanyuJ8h9HnK3R0me0HaKs9l7CVAOppaq qCbBcfufMCF32E4 LIAOPE6t5HXz4Yfqb CnsxYeq0EmU raFAfFOBxuW3HNKhe U

Kết luận d, d’ cắt nhau tại $M(m-1; 3m-1)$.

 

b) Vì ba đường thẳng d, d’, d’’ đồng quy nên M ∈ d” ta có:

$3m-1=-m(m-1)+2$ ⇔ $m^2 + 2m – 3 = 0$

D5KCXHj349CYBvjscCGZs8BLY6vT0OyJDRwF8gbvXjtFCK1sRxERjpdZMjVGnyaPveWpG2OME0AoVQXixpPPdNpt5FgUPQEsQ5Duady2 4q1

Trường hợp $m=1$ ta có 3 đường thẳng là d: $y=x+2$, $d’:y=3x+2$; $d”:y=-x+2$ phân biệt đồng quy tại M(0; 2).

Trường hợp $m=-3$ ta có d’ ≡ d” suy ra m = -3 không thỏa mãn.

Kết luận m=1 là giá trị cần tìm.

 

4.2. Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất lớp 10

Ở dạng xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, các em áp dụng kiến thức đã nêu ở phần Lý thuyết chung về hàm số bậc nhất lớp 10.

 

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y=3x+6$

b) $y=-1\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải:

  1. Tập xác định: $\mathbb{R}$, $a=3>0$ => hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lập bảng biến thiên:

7oRGbBySc5spzBmFFU329NBrb0JzGfd2dLB0lyBSrLm0UfLbT7uQ07aBnPb34Rfc853vPL4seYWd4y DICvDWUQdlzyBVdgyX6tFxpAryeHTPSZnccqPf9p399cVURrOIiuB TSh g6DNiHb9 hT0ho

Đồ thị hàm số $y=3x+6$ đi qua 2 điểm A(-2;0), B(0;6).

MSQicqgPhgklz3l0d Ck0n1K F9BVUOhxGPiY0ijfdc9wzJAX3G 0asDDdRkCq mnJDTLgfLaVhvy3MmkG7iK NfkyRsJskgzJ50VYaPGg NQCQJlVZU3P0tnaAs2zHM 1km7pFcEeiXpsEXnRL3hc

  1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$, $a=(-1)/2<0$ => Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Lập bảng biến thiên:

5 x9zziF1 s7TV0HmZh9IdSHkpFM1OVWUX4zBd3HCOGu7zBAzCFiXHWnqhifPJDoJGfYGbziDcMtCyQaZcS0jzhg1DOTebXma3gDZu7rJc7USHbHyvg

Đồ thị hàm số y = $-1\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$ đi qua 2 điểm A(3; 0), B(0; 3/2)

5GyrffCoTvh3YfHQxBNWVXYPDJAs0EvAEkSx1ZqDqY8 jikcps6kSHEOufXQl6vk4 qID2AQtSUwj Kn84y7nmRci

 

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3]

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 2]

nXA mq5kW 0 gEXp5I93TpvfYEz7xDLe5LOJQF22ayNkZMJ25nZOEtW2nFRGI8p 5B8dXIJyKZindtXb08OC2Prj98nH5r9VKfV3uJscKkFPTXc59i2ZhifkIA62nwp a faV32 vaHN7z7WlWGTk7I

Hướng dẫn giải:

  1. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-3;3]

  1. Dựa vào đồ thị hàm số đề bài, ta có:

19boGtvruCi9jjBwvjtA7ZGA56extMroRYHTZb5 FufyNuyj5DVjQ1 ZC3 9vHYZ64Nf6FMHDP GMBp2p28dvLz1s W1y HJWa1cHq ZDHWIImp98fzvaT3Jpm3Ab kKi0cEngfsdfdZ9yRkFrnvdyc

 

4.3. Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đây là dạng bài tập ở mức độ trung bình khó trong phần kiến thức hàm số bậc nhất lớp 10. Để vẽ đồ thị © của hàm số y = |ax + b|, các em có thể lựa chọn thực hiện theo 2 cách sau:

Cách 1: Vẽ ($C_1$) là đường thẳng $y=ax+b$ với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ≥ (-b)/a , Vẽ (C2 ) là đường thẳng $y=-ax-b$ lấy phần đồ thị sao cho $x<(-b)/a$. Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị ($C_1$) và ($C_2$).

 

Cách 2: Vẽ đường thẳng $y=ax+b$ và $y=-ax-b$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C).

Lưu ý:

+ Cho đồ thị (C): $y=f(x)$ khi đó đồ thị ($C_1$): $y=f(|x|)$ là gồm phần :

    – Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung.

    – Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.

 

+ Cho đồ thị (C): $y=f(x)$ khi đó đồ thị $(C_2): y=|f(x)|$ là gồm phần:

    – Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.

    – Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

 

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

z3hKI4Tpbrbm7zFAUZSE rXN84W8T72VvlVmzVvQAoKvcfcIcEfV1G Aeei C42ItM1nf6YqrZq3mY7L4DUeLF7iZ8eqU 0EkQFN KrTPdXSOWAbT2STHv7zp53Ua WwJ8iWCpYi2SoSO62 V4I6k40

Hướng dẫn giải:

  1. Ta thấy: 

  • Với x ≥ 0: đồ thị hàm số y = 2x là phần đường thẳng đi qua 2 điểm A (1; 2) và O(0; 0) nằm bên phải của trục tung.

  • Với x<0: đồ thị hàm số y = – x là phần đường thẳng đi qua 2 điểm B(-1; 1), C(-2; 2) nằm bên trái của trục tung.

Inz79A4KFFOzk00Wmx63 2TdliFhwmvPuPpbpZtbQ GjY NGYCofPfI

  1. Vẽ 2 đường thẳng $y=-3x+3$ và $y=3x-3$ và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.

wJlYd95OuKO5wxWysmmQsT3w7q5MUoe8A hbU1aNga8hkgXgnKlL8P7zy1HQk9kAOuH F8yUBbVXM7uhpbOL0OonIVBIt4KnVUL5

 

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của những hàm số trị tuyệt đối sau đây:

a) y = |x| – 2

b) y = ||x| – 2|

Hướng dẫn giải:

  1. Ta có 2 cách giải sau:

Cách 1:
Ta có:

ZezXNlXpF8YFTb KCq1Tsqk9SaEKWPsMkWhUjCRVSs4EXid7a KDjhqjXIvzHNrq YJwglrF21xAoWUX4eaAWbspDAYSclwUz

Vẽ đường thẳng $y=x–2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung

Vẽ đường thẳng $y=-x–2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (- 2; 0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.

 

Cách 2: Đường thẳng $d:y=x–2$ đi qua A (0; -2), B (2; 0).

Khi đó đồ thị của hàm số $y=|x|-2$ là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.

 

  1. Đồ thị $y=||x| – 2|$ là gồm phần:

– Giữ nguyên đồ thị hàm số $y=|x|-2$ ở phía trên trục hoành

– Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y=|x|-2$ ở phía dưới trục hoành.

 

4.4. Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất 

Cho hàm số $f(x)=ax+b$ và đoạn [α; β] ⊂ R.Khi đó, đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên [α; β] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:

AKl8l8xqtQNROhcOBbB67GNeDtmFocJetnSchYxnz6fTm lcSj8cYhw8cV0FOGk 4B4wEacnVFSIILfISn NBmH19ln671VvL57 WtTi d4TFVr7s1Ss

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = |2x – m|$. Tìm m để giá trị lớn nhất của f(x) trên [1; 2] đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Xét thấy giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [1;2] chỉ có thể đạt được tại 2 điểm $x=1$ hoặc $x=2$.

Ta có:

5LSIA03trgFVGcOTjuOykRbL4YfyG2VIAntjEH 9RXA9U4JsjRuLLnZrBz8fcvrqxs8SYftnSeSZy22ULei8jQjQCDz

Kết luận giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi m=3.

 

Ví dụ 2: Cho hàm số:

79dlVFAPFEX9UVOgh8qXf7dT NzqCGqyxfRUV1CjO4D64izN4fpJpYZwQNzD3mti4b6tJ2MPvTtqAcai6JLsG2FN6oTErAAzb0QJpfCiikCNSr2 kss5JFNGG38nacY13mXgsstKfklgqXSVimnTl3E

Tìm m để giá trị lớn nhất của y đạt nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Gọi A=max_{y}. Ta có:

Y4JHGfHV5m cxHKQS3WVZR9jnXECYffXjrNzvlxsGbGELCKRHI0Vf1MaiUROcEGz1O0V9NLuxJVMw3W4EW4nFw5bLug0F5YujMq KFO66KzgAfyldSHCPgMhL9Q6SC AabNNpi De J3IEwET2 u3MM

Kết luận giá trị cần tìm là $m=\frac{3}{2}$.

Trên đây là toàn bộ kiến thức bao gồm lý thuyết và bốn dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10 điển hình nhất trong chương Hàm số – tập hợp. Để theo dõi và học thêm nhiều kiến thức Toán THPT, Toán lớp 10,… các em học sinh theo dõi trang web vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học của VUIHOC ngay tại đây nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button