Giáo Dục

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số lớp 10. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ hướng dẫn các em học sinh cách vẽ miền nghiệm, ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình vào các bài toán kinh tế.

1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y có dạng tổng quát như sau:

$ax+by\leq c(ax+by<c, ax+by\geq c, ax+by>c)$

Trong đó:

  • a, b, c là những số thực cho trước

  • a và b không cùng bằng 0

  • x và y là các biến (ẩn số)

Cặp biến số $(x_0;y_0)$ sao cho $ax_0+by_0c$ là bất đẳng thức đúng thì cặp biến số đó được gọi là 1 nghiệm của bất phương trình $ax+by\leq c$.

 

Ví dụ về bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $4x+2y>1$; $x-2y<-2$;…

 

2. Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

2.1. Định lý

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ chính là nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình $3x-2y>-6$ được biểu diễn theo hình dưới đây:

z6Q19PATFb88WrOvwcQL1Z8wt260s5JMrkSJNgbYII0bzVpfmX18T PZeU3 DCPH 5Ev4bF7v7a6YhnVdQRdPCJBWbgrLl8PmKKw SfW6rTyUSIiA jeO7DN31P 70r83ZvNUJ1O4 LufamwtWtb3Q

2.2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Cho mặt phẳng toạ độ Oxy, có đường thẳng d: $ax+by+c=0$ chia Oxy thành 2 nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó chứa các điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình bậc nhất 2 ẩn $ax+by+c>0$, nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình bậc nhất 2 ẩn $ax+by+c<0$.

Để xác định và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $ax+b+c<0$, các em học sinh thực hiện theo các bước sau đây:

  • Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:ax+by+c=0$

  • Bước 2: Xét điểm $M(x_0;y_0)$ không thuộc đường thẳng d. Thường ở bước này, ta sẽ lấy điểm M là gốc toạ độ.

  • Bước 3: Tính $ax_0+by_0$ và so sánh giá trị với c.

  • Bước 4: Kết luận

    • Nếu $ax_0+by_0<c$ thì nửa mặt phẳng chứa điểm $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc

    • Nếu $ax_0+by_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm $M_0$ chính là miền nghiệm của bất phương trình ax+byc

Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn ax_0+by_0<c chính là miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn $ax_0+by_0\leq c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=0$.

 

Xét ví dụ sau đây để hiểu hơn về cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn lớp 10:

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn $2x-y\geq 0$

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng $(d):2x-y=0$. Ta được đường thẳng (d) chia mặt phẳng Oxy thành 2 nửa. Chọn điểm $M(1;0)$ không thuộc đường thẳng (d), ta thấy M là nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn đã cho.

Vì vậy, miền nghiệm cần tìm chính là nửa mặt phẳng bờ (d) và chứa điểm $M(1;0)$ (miền không được tô màu xanh ở hình vẽ).

rpxRZj0qHgEBgdZfdS7pFuET IkhFWIimQP5eR O4oO9eTsMPuDVzYGaCajYk2lAV3j6XF55KWzSb0R31Bs4oJ6ErbnS7Isp oWQw4PCipbzHgNBWsiHodUD0cbmT9I

 

Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $-x+2+2(y-2)<2(1-x)$

Hướng dẫn giải:

$\Leftrightarrow -x+2+2(y-2)<2(1-x)$

$\Leftrightarrow -x+2+2y-4<2-2x$

$\Leftrightarrow x+2y<4 (1)$

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng Oxy:

  • Vẽ đường thẳng $x+2y=4$

  • Thay toạ độ (0;0) vào bất phương trình (1), ta được 0+0<4 => (0;0) là một nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ dưới đây.

25j2Y2QCy XgpKAMZvYrbq0bqvLQfBugtMqcOSSkHi0GTr4dXCtUwGJl796jMYAxwoq9IDNAEjmHbhXjB 7G4 hJjf3u1iHIr2OqKcHEKzdVz4SRDtBfG6uIehTmyMOd k3FHOuY8Z1W2nyTkBAuweI

 

Ví dụ 3: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

Hướng dẫn giải:

$\Leftrightarrow 3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

$\Leftrightarrow 3x-3+4y-8<5x-3$

$\Leftrightarrow -2x+4y<8$

$\Leftrightarrow x-2y>-4 (2)$

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng Oxy:

  • Vẽ đường thẳng $x-2y=-4$

  • Thay toạ độ (0;0) vào bất phương trình (2), ta được: 0+0>-4 (đúng) => (0;0) là 1 nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đề bài là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ sau đây.

jz56FGLrtLJFDkmYwpo dhpt1Y3hWXKR05YoIZ X1lS4oW QrR0H3zAbHttyy RGRM7N9mIcT OKVbIdWZToGDUw c5exIh08ltGJ1znJ5OmBPVfm5rpDYSo R965rjWbP8AAY8Yeu1eq790k4eJ0w

 

3. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn cũng tương tự như hệ bất phương trình một ẩn đã học ở các bài trước. 

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y mà ta cần tìm những nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là 1 nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn đã cho.

Cũng giống như bất phương trình bậc nhất 2 ẩn, ta có thể biểu diễn miền nghiệm của hệ với các bước thực hiện giống như xét bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. Để hiểu chi tiết hơn cách xét miền nghiệm dạng hệ bất phương trình, ta cùng xem ví dụ dưới đây:

 

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

hVkxDN3wK0s0GFsqippcQ9DcPmlNIpuYT9U2ZI3H8utQ4 Ltt IylxtjM9N7X6vRTe61HF

Hướng dẫn giải:

Vẽ các đường thẳng sau đây:

$d_1: 3x+y=6$

$d_2: x+y=4$

$d_3: x=0(Oy)$

$d_4: y=0(Ox)$

Do điểm $M_0(1;1)$ có toạ độ thoả mãn mọi bất phương trình trong hệ, nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ $(d_1)$, $(d_2)$, $(d_3)$, $(d_4)$ không chứa điểm $M_0$. Miền không bị tô đậm trong hình dưới đây chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 ẩn đề bài.

FxCZI9G31qJH9gui4WuotDQsWHyr KRbhJLaeVeE9OFjuSx0YXmp1fr6O9EejuMYdYU uSUub76R5QI7A8Ltid mk4tuVidEHiOh8kTzQXDukc99y5vj4brbQDJVTv5

 

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

Hướng dẫn giải:

Vẽ đường thẳng $(d):x+y-2=0$, $(d’’):x-3y+3=0$ trên mặt phẳng Oxy.

Xét điểm gốc toạ độ $O(0;0)$: Điểm O không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2\geq 0$ và $x-3y+3/leq 0$.

Như vậy, miền nghiệm của hệ bất phương trình đề bài là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.

laKATCr1EUJKoRaeAd3Vd9OanNprNdKWN9HEXsit5x rxx RMnIeQw7JthnTmTsBJ2T1bHBitDn9dxqdzXzlvSP5s2yHgT8WlVTA2zeLQrfPsNTSwx8Qvlbwak7l7wCDr f2HU 8LlrUFzu3Tge0GV8

 

Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

k8zWh0TbigaYULBiPkIZexgcRm1absYeF6t9L2lglHuH 1pa435 zjyfDuY14HIoXGxtAnGEa8bWT9Rh9YSxwbJVgDda86M 9kdrvb8ri7NsgB3Sm8kEpA3OFYtj8M 2hlTilou0x upPFzunGuL hw

Hướng dẫn giải:

Vẽ các đường thẳng sau trên mặt phẳng toạ độ Oxy:

$(d):x+y=0$

$(d’):2x-3y+6=0$

$(d’’):x-2y+1=0$

Xét điểm $O(0;0)$: Điểm 0 là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\geq 0$.

Xét điểm $M(1;0)$: Điểm M là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ => điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y>0$.

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trong hình vẽ dưới đây.

1Z Hna8om5KpgF0Pd nDjwd2jMhMaraKtf0573NDas0aY0LIKy2gnE0IN8HcpkK 5lBUGY zem5RABZDWYP8lyeY6ORd2Fow4nUbxOXow5GW6QU4utO58VT9a47F1FLosD8OqvJdxATYzmkmR Z6SZk

 

4. Áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn vào bài toán kinh tế

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn thường được áp dụng rất nhiều vào các bài toán kinh tế thực tế. Loại bài toán này có cả một ngành toán học nghiên cứu có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

Cùng xét ví dụ dưới đây để hiểu cách giải bài toán kinh tế áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Ví dụ: Có 1 xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm, mỗi cân sản phẩm loại I cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 40.000 đồng. Mỗi cân sản phẩm loại II cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 30.000 đồng. Xưởng có 200 cân nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Hỏi giám đốc của xưởng nên cho sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu cân để có mức lợi nhuận cao nhất?

Hướng dẫn giải:

Gọi x $(x_0)$ là số cân mà loại I cần sản xuất, y $(y_0)$ là số cân loại II cần sản xuất.

Từ đề bài suy ra: số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$, mức lợi nhuận thu được là $40000x+30000y$.

Theo giả thiết đề bài, xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc => $2x+4y\leq 200$ hoặc $x+2y-100\leq 0$, $30x+15y\leq 1200$ hay $2x+y-80\leq 0$.

Từ đó, bài toán trở thành: Tìm x và y thỏa mãn hệ bất phương trình eH2yDE9i0BtEOLewG5oR uGpz xr DZCJU9212hcWChNrHbXZjTgG8yO1pwyzoYb8jYSYHV20ipHcXWlabkswACjX5J6Rei9x 68LTvezSjMu2LhlGybnqTwCzfXb MYUqdgjBilM7He3CIR4FQpnGUsao cho $H(x;y)=40000x+30000y$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng $(d’):x+2y-100=0$ và $(d’’):2x+y-80=0$.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình 2 ẩn (*) là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.

PzKF3Wz9dsF9aqM5O1me945NOXD DEtWphPZCGDFo3hIXmC82yuCoMsPKzZX4OmcMe3ZlyN5lMeEqZXeBrE04tRG89nS3F7knkoRVflrsGAR4jTpym4av5lHXu91ZlL2TcpfsRh9v4gIb1WZ9Ja Vo

Giá trị lớn nhất của $H(x;y)=40000x+30000y$ đạt giá trị tại một trong các điểm (0;0), (40;0), (0;50), (20;40).

Ta có: H(0;0)=0, H(40;0)=1600000, H(0;50)=1500000, H(20;40)=2000000

Giá trị lớn nhất của H(x;y)=2000000 khi (x;y)=(20;40)

Vì vậy, xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

 

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết bất phương trình  bậc nhất 2 ẩn Toán lớp 10, kèm theo ví dụ có giải chi tiết minh hoạ để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn các phần kiến thức VUIHOC muốn truyền đạt. Để đọc và học nhiều hơn về Toán lớp 10, Toán THPT,… các em truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký ngay tại đây nhé!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button